Placer des points à partir du module et de l'argument - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A, \text B, \text C,\text D\) et  `E` tels que :

• \(\left\vert z_\text A \right\vert = 2\)  et  \(\arg(z_\text A) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\)  
  
• \(\left\vert z_\text B \right\vert = 3\)  et  \(\arg(z_\text B) \equiv \dfrac{7\pi}{6} \ [2\pi]\)
  
• \(\left\vert z_\text C \right\vert = 1\)  et  \(\arg(z_\text C) \equiv -\dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]\)
  
• \(\left\vert z_\text D \right\vert = 4\)   et \(\arg(z_\text D) \equiv \dfrac{2\pi}{3} \ [2\pi]\)
  
• \(\left\vert z_\text E \right\vert = 5\)   et \(\arg(z_\text E) \equiv -\pi \ [2\pi]\)

Placer ces cinq points.

Solution

Remarque

On considère un nombre complexe \(z \in \mathbb{C}^\ast\) de forme algébrique  `z=x+iy` et de forme trigonométrique `z=r(\cos\theta+i\sin\theta)` . Soit  \(\text M\) le point du plan complexe d'affixe `z` .

• D'une part, la connaissance de  `x` et  `y` (c'est-à-dire de la partie réelle et de la partie imaginaire de `z` ) permet de placer le point  \(\text M\) dans le repère `(\text O;\vec{u},\vec{v})` .  On dit que le couple `(x;y)` est le couple des coordonnées cartésiennes de  \(\text M\) dans ce repère.
  
• D'autre part, la connaissance de  `r` et `\theta`   (c'est-à-dire du module et d'un argument de `z` ) permet aussi de placer le point  \(\text M\) dans le repère `(\text O;\vec{u},\vec{v})` . On dit que le couple `(r;\theta)` est un couple de coordonnées polaires de  \(\text M\) dans ce repère.